Question

10．若sinθ+cosθ=$\frac{{2\sqrt{2}-1}}{3}$（0＜θ＜π），则tanθ=-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ-cosθ的值，进而求出sinθ与cosθ的值，即可求出tanθ的值．

解答 解：已知等式sinθ+cosθ=$\frac{{2\sqrt{2}-1}}{3}$①，
两边平方得：（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{9-4\sqrt{2}}{9}$，即2sinθcosθ=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∵0＜θ＜π，
∴cosθ＜0，sinθ＞0，即sinθ-cosθ＞0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{9+4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{（2\sqrt{2}+1）^{2}}{9}$，即sinθ-cosθ=$\frac{2\sqrt{2}+1}{3}$②，
联立①②，解得：sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosθ=-$\frac{1}{3}$，
则tanθ=-2$\sqrt{2}$，
故答案为：-2$\sqrt{2}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．