Question

7．已知数列{a_n}为等差数列，首项a₁=5，公差d=-1，数列{b_n}为等比数列，b₂=1，公比为q（q＞0），c_n=a_nb_n，S_n为{c_n}的前n项和，记S_n=c₁+c₂+..+c_n．
（Ⅰ）求b₁+b₂+b₃的最小值；
（Ⅱ）求S₁₀；
（Ⅲ）求出使S_n取得最大的n的值．

Answer 1

分析 （I）b₁+b₂+b₃=q^-1+1+q，（q＞0），利用基本不等式的性质即可得出最小值．
（II）由题意知：${a_n}=-n+6，{b_n}={q^{n-2}}$，可得 ${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}$，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
（III）令${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}≥0$，解得n即可得出．

解答 解：（I）b₁+b₂+b₃=q^-1+1+q≥2+1=3，（q＞0），∴最小值为3．
（II）由题意知：${a_n}=-n+6，{b_n}={q^{n-2}}$，∴${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}$，
${S_{10}}=5{q^{-1}}+4+3q+2{q^2}+…+（-4）{q^8}$，
$q{S_{10}}=5+4q+3{q^2}+2{q^3}+…+（-4）{q^9}$，
∴$（1-q）{S_{10}}=5{q^{-1}}-（1+q+{q^2}+…+{q^8}）+4{q^9}$，
当q=1 时，S₁₀=5．
当q≠1 时，（1-q）S₁₀=$5{q^{-1}}-\frac{{（1-{q^9}）}}{1-q}+4{q^9}$，
${S_{10}}=\frac{5}{（1-q）q}-\frac{{（1-{q^9}）}}{{{{（1-q）}^2}}}+\frac{{4{q^9}}}{（1-q）}$．
（III）令${c_n}=（-n+6）{q^{n-2}}≥0$，
解得：n≤6，∴n取5或6时，S_n 最大．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．