Question

9．在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点x轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-sinθ）=4，且与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C与直线l的普通方程；
（Ⅱ）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C与直线l的普通方程；
（Ⅱ）求出|AB|，O到直线l的距离，即可求△AOB的面积．

解答 解：（Ⅰ）已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数得y²=4x，
直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-sinθ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ得普通方程为x-y-4=0；
（Ⅱ）已知抛物线y²=4x与直线x-y-4=0相交于A，B两点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x-y-4=0\end{array}\right.$，得$|AB|=4\sqrt{10}$，O到直线l的距离$d=\frac{|0-0-4|}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，
所以△AOB的面积为$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4\sqrt{10}=8\sqrt{5}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查三角形面积的计算，属于中档题．