Question

1．数列{a_n}满足a₁=1，（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n+a_n+1）=2ⁿ⁺¹-2，则a₈=85．

Answer 1

分析 （a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n+a_n+1）=2ⁿ⁺¹-2，n≥2时，（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=2ⁿ-2，可得a_n+a_n+1=2ⁿ．进而得到a_n+1-a_n-1=2^n-1．利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n+a_n+1）=2ⁿ⁺¹-2，
n≥2时，（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=2ⁿ-2，
∴a_n+a_n+1=2ⁿ．
n≥3时，a_n-1+a_n=2^n-1．
∴a_n+1-a_n-1=2^n-1．
∵a₁=1，可得a₂=2²-2-1=1．
则a₈=（a₈-a₆）+（a₆-a₄）+（a₄-a₂）+a₂=2⁶+2⁴+2²+1=$\frac{{4}^{4}-1}{4-1}$=85．
故答案为：85．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的递推关系、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．