Question

4．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，且4S_n=a_n（a_n+2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系即可得出．
（II）利用裂项求和、数列的单调性即可证明．

解答 （Ⅰ）解∵4S_n=a_n（a_n+2），①
当n=1时得$4{a_1}=a_1^2+2{a_1}$，即a₁=2，
当n≥2时有4S_n-1=a_n-1（a_n-1+2）②
由①-②得$4{a_n}=a_n^2-{a_{n-1}}^2+2{a_n}-2{a_{n-1}}$，即2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）证明：∵${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．