Question

19．已知点F₂，P分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}，|{\overrightarrow{O{F_2}}}|=|{\overrightarrow{{F_2}M}}$|，且$\overrightarrow{O{F_2}}•\overrightarrow{{F_2}M}=\frac{c^2}{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 方法一：由题意可知：则M为线段PF₂的中点，则M（$\frac{x+c}{2}$，$\frac{y}{2}$），根据向量数量积的坐标运算，即可求得x=2c，利用两点之间的距离公式，即可求得y=$\sqrt{3}$c，利用双曲线的定义，即可求得a=（$\sqrt{3}$-1）c，利用双曲线的离心率公式即可求得该双曲线的离心率．
方法二：由题意可知：2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，则M为线段PF₂的中点，根据向量的数量积，求得cos∠OF₂M，利用余弦定理即可求得丨OM丨，根据三角形的中位线定理及双曲线的定义丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，a=（$\sqrt{3}$-1）c，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由题意可知：2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，则M为线段PF₂的中点，则M（$\frac{x+c}{2}$，$\frac{y}{2}$），
则$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=（c，0），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（$\frac{x-c}{2}$，$\frac{y}{2}$），
则$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\frac{x-c}{2}$×c=$\frac{{c}^{2}}{2}$解得：x=2c，
由丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨=丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨=c，即$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4}}$=c，解得：y=$\sqrt{3}$c，
则P（2c，$\sqrt{3}$c），由双曲线的定义可知：丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，
即$\sqrt{（3c）^{2}+3{c}^{2}}$-$\sqrt{{c}^{2}+3{c}^{2}}$=2a，a=（$\sqrt{3}$-1）c，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴该双曲线的离心率$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选D．
方法二：由题意可知：2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，则M为线段PF₂的中点，
则OM为△F₂F₁P的中位线，
$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=-$\overrightarrow{{F}_{2}O}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=-丨$\overrightarrow{{F}_{2}O}$丨•丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨cos∠OF₂M=$\frac{{c}^{2}}{2}$，
由丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨=丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨=c，则cos∠OF₂M=-$\frac{1}{2}$，
由正弦定理可知：丨OM丨²=丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨²+丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨²-2丨$\overrightarrow{O{F}_{2}}$丨丨$\overrightarrow{{F}_{2}M}$丨cos∠OF₂M=3c²，
则丨OM丨=$\sqrt{3}$c，则丨PF₁丨=2$\sqrt{3}$，丨PF₂丨=丨MF₂丨=2c，
由双曲线的定义丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，a=（$\sqrt{3}$-1）c，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴该双曲线的离心率$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，向量的坐标运算，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．