Question

18．已知函数f（x）=sin2xcos$\frac{3π}{5}-cos2xsin\frac{3π}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据差角公式化简f（x），利用正弦函数的性质求出对称轴和周期；
（II）根据x的范围得出2x-$\frac{3}{5}$的范围，再利用正弦函数的性质得出f（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin2xcos\frac{3π}{5}-cos2xsin\frac{3π}{5}=sin（2x-\frac{3π}{5}）$．
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，
令2x-$\frac{3π}{5}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{11π}{20}$+$\frac{1}{2}$kπ．
所以f（x）的对称轴方程为x=$\frac{11π}{20}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．
（Ⅱ）因为$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
所以2x∈[0，π]，
所以$2x-\frac{3π}{5}∈[-\frac{3π}{5}，\frac{2π}{5}]$
所以，当$2x-\frac{3π}{5}=-\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{20}$时，f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值为-1．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．