Question

已知函数f（x）=log₃

1+x

1-x

（-1＜x＜1），g（x）是函数y=log₃x的反函数，h（x）=9^x+1-2a•g（x），（a∈R）
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）求h（x）在区间[0，1]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的定义判断，首项看定义域，再看解析式，
（2）换元转化为m（t）=t²-2at，t∈[1，3]，根据对称轴，与区间的关系，结合单调性判断即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₃

1+x

1-x

（-1＜x＜1），
∴定义域关于原点对称，
f（-x）=log₃

1-x

1+x

=-log₃

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）的奇函数．
（2）∵g（x）是函数y=log₃x的反函数，
∴g（x）=3^x，
∵h（x）=9^x+1-2a•g（x），（a∈R），
∴h（x）=9^x+1-2a•3^x，（a∈R）
设t=3^x，x∈[0，1]，
∴t∈[1，3]，
m（t）=t²-2at，t∈[1，3]，
当a≥3时，最大值=m（1）=1-2a，最小值m（3）=9-6a．
当a≤1时，最大值=m（3）=9-6a，最小值m（1）=1-2a，
当

3

2

≤a＜3时，最大值=m（1）=1-2a，最小值m（

3

2

）=

9

4

-3a，
当1＜a＜

3

2

时，最大值=m（3）=9-6a，最小值m（

3

2

）=

9

4

-3a，

点评：本题考查了指数函数，对数函数的单调性，转化二次函数，讨论对称轴，判断单调性求解最大，最小值，属于中档题．