Question

已知函数f（x）=2

3

sinwxcoswx+2cos²wx-1的周期为

π

2

．
（1）求w的值；    
（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠ABC的对边，f（

A

2

）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）由条件利用三角恒等变换求得函数f（x）=2sin（2wx+

π

6

），再根据f（x） 的周期为T=

2π

2w

=

π

2

，求得w的值．
（2）由f（

A

2

）=2sin（4×

A

2

+

π

6

）=1，求得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，求得A=

π

3

．再根据a=2，b+c=4，利用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积为

1

2

bc•sinA 的值．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=2

3

sinwxcoswx+2cos²wx-1=

3

sin2wx+cos2wx=2sin（2wx+

π

6

） 的周期为T=

2π

2w

=

π

2

，
∴w=2，f（x）=2sin（4x+

π

6

）．
（2）∵f（

A

2

）=2sin（4×

A

2

+

π

6

）=1，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，求得A=

π

3

．
再根据a=2，b+c=4，利用余弦定理可得a²=4=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=16-3bc，
∴bc=4，∴△ABC的面积为

1

2

bc•sinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性，余弦定理，属于基础题．