Question

已知f（x）=log_0.5（10-ax），f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x）≥0的解集；
（3）若f（x）-

1

2x

-m＞0对于x∈[3，4]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数恒成立问题,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）转化为指数式（

1

2

）^-2=10-3a，（2）根据对数函数的定义域，单调性，得出0＜10-2x≤1，求解即可．
（3）log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

-m＞0对于x∈[3，4]恒成立，令k（x）=log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

，转化为函数的最值求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_0.5（10-ax），f（3）=-2．
∴（

1

2

）^-2=10-3a，
即4=10-3a，
a=2，
（2）f（x）=log 

1

2

（10-2x），
∵f（x）≥0，
∴log 

1

2

（10-2x）≥0，
即0＜10-2x≤1，

9

2

≤x＜5，
∴不等式f（x）≥0的解集：{x|

9

2

≤x＜5}．
（3）∵f（x）-

1

2x

-m＞0对于x∈[3，4]恒成立，
∴log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

-m＞0对于x∈[3，4]恒成立，
令k（x）=log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

，
∵k（x）在x∈[3，4]上单调递增，
∴最小值为：k（3）=-2-

1

8

=

15

8

只需m＜

15

8

即可有f（x）-

1

2x

-m＞0对于x∈[3，4]恒成立，

点评：本题考查了指数，对数函数，的综合运用，融合不等式的恒成立问题，与最值的关系，属于中档题，结合的知识较多．