Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-

ax

x+a

，其中a＞1，设a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1）．请证明：

3

n+2

≥a_n≥

2

n+2

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：证明题,导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：求a=2，3时函数的导数，判断f（x）的单调性，得到ln（x+1）＞

2x

x+2

（x＞0），ln（x+1）＜

3x

x+2

，（0＜x＜3），再利用数学归纳法即可证明不等式．

解答： 证明：当a=2时，函数f（x）=ln（x+1）-

2x

2+x

的导数
f′（x）=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0，
此时函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞

2x

x+2

，（x＞0），
当a=3时，f（x）的导数为f′（x）=

x2-3x

(x+1)(x+3)2

，由f′（x）＜0，得0＜x＜3，
即有f（x）在（0，3）上是减函数，
则当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜

3x

x+2

，
下面用数学归纳法进行证明

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

成立，
①当n=1时，由已知

2

3

＜a₁=1，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即

2

k+2

＜a_n≤

3

k+2

，
则当n=k+1时，a_n+1=ln（a_n+1）＞ln（

2

k+2

+1）＞

2• 2 k+2

2 k+2 +2

=

2

k+3

，
a_n+1=ln（a_n+1）＜ln（

3

k+2

+1）＜

3• 3 k+2

3 k+2 +3

=

3

k+3

，
即当n=k+1时，

2

k+3

＜a_k+1≤

3

k+3

成立，
综上由①②可知，对任何n∈N^•结论都成立．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．