Question

12．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别在面对角线AC，A₁C上且CM=2MA，A₁N=2ND．记向量$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，\overrightarrow{A{A_1}}=\overrightarrow c$，用$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$表示$\overrightarrow{MN}$．

Answer 1

分析 利用空间向量基本定理，即可得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{A{A_1}}+\overrightarrow{{A_1}N}$
$\begin{array}{l}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A_1}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{{A_1}D}\\=-\frac{1}{3}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}）+\overrightarrow{A{A_1}}+\frac{2}{3}（{\overrightarrow{{A_1}A}+\overrightarrow{AD}}）\\=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A_1}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\\=-\frac{1}{3}\overrightarrow a+\frac{1}{3}\overrightarrow b+\frac{1}{3}\overrightarrow c\\∴\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow a+\frac{1}{3}\overrightarrow b+\frac{1}{3}\overrightarrow c.\end{array}$

点评 本题考查空间向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．