设函数f(x)=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$-bx．(1)当a=-2.b=3时.求函数f(x)的极值,+$\frac{1}{2}a{x^2}+bx+\frac{a}{x}$.其图象上任意一点P(x0.y0)处切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立.求实数a的取值范围,(3)当a=0.b=-1时.方程f(x)=mx在区间[1.e2]内恰有两个实数解.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$-bx．
（1）当a=-2，b=3时，求函数f（x）的极值；
（2）令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}a{x^2}+bx+\frac{a}{x}（{0＜x≤3}）$，其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=-1时，方程f（x）=mx在区间[1，e²]内恰有两个实数解，求实数m的取值范围．

分析（1）将a，b的值带入f（x），求出函数f（x）的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值即可；
（2）求出F（x）的导数，问题转化为a≥${（-\frac{1}{2}x_0^2+{x_0}）_{min}}$，从而求出a的范围即可；
（3）求出f（x）的解析式，问题转化为m=1+$\frac{lnx}{x}$在区间[1，e²]内恰有两个实数解．

解答解：（1）依题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-2，b=3时，f（x）=lnx+x²-3x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}=0，得x=\frac{1}{2}$或x=1
列表f（x）的极大值为$f（\frac{1}{2}）=-ln2-\frac{5}{4}$，
f（x）的极小值为f（1）=-2；
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，
则有k=F'（x₀）=$\frac{{{x_0}-a}}{{{x_0}^2}}≤\frac{1}{2}$，在（0，3]上有解，
∴a≥${（-\frac{1}{2}x_0^2+{x_0}）_{min}}$
所以当x=1时，-$\frac{1}{2}x_0^2+{x_0}$取得最小值$\frac{1}{2}$，∴a≥$\frac{1}{2}$．
（3）当a=0，b=-1时，f（x）=lnx+x=mx，（x∈[1，e²]），
得m=1+$\frac{lnx}{x}在[{1，{e^2}}]有两个实数解$，
$m∈[\frac{2}{e^2}+1，\frac{1}{e}+1）$时方程有两个实数解．

点评本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．