Question

17．已知F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，过F的直线与抛物线交于A、B两点，AB中点为C，过C作抛物线的准线的垂线交准线于C₁点，若CC₁中点M的坐标为（$\sqrt{2}$，4），则p=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率，求出AB的方程，代入抛物线方程，利用纵坐标的值可求出p的值．

解答 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则其准线为x=-$\frac{p}{2}$
∵CC₁中点M的坐标为（$\sqrt{2}$，4），∴y₁+y₂=8，
C（2$\sqrt{2}$+$\frac{p}{2}$，4），F（$\frac{P}{2}$，0），可得AB的斜率为：$\sqrt{2}$，
AB的方程为：y=$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入抛物线方程可得：y²-$\sqrt{2}$py-p²=0
∴y₁+y₂=$\sqrt{2}p$，
可得$\sqrt{2}$p=8，
∴p=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．