Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（a+1）x+lnx，g（x）=x²-2bx-

5

4

．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=

1

2

时，对任意x₁∈（0，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，取得切线的斜率与切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间；
（Ⅲ）对任意x₁∈（0，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，等价于f（x）_min≤g（x）_min，分类讨论，即可求实数b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-x+lnx，
∴f′（x）=-1+

1

x

，f（1）=-1，
∴f′（x）=0
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=

1

2

ax²-（a+1）x+lnx，
∴f′（x）=ax-（a+1）+

1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

当a＜0时，f′（x）＞0，可得x＞1；f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（Ⅲ）当a=

1

2

时，f（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx，则f′（x）=

1

2

x+

1

x

-

3

2

，
∵x∈（0，2]，∴f′（x）=

1

2

x+

1

x

-

3

2

≥

2

-

3

2

，
∴f（x）_min=

2

-

3

2

，g（x）=x²-2bx-

5

4

=（x-b）²-b²-

5

4

∵x∈[1，2]，∴b＞2时，g（x）_min=g（2）=

11

4

-4b；1≤b≤2时，g（x）_min=b²-

5

4

；b＜2时，g（x）_min=g（1）=-

1

4

-2b，
∵对任意x₁∈（0，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴b＞2时，

2

-

3

2

≤

11

4

-4b，不成立；1≤b≤2时，

2

-

3

2

≤b²-

5

4

，∴1≤b≤2；
b＜2时，

2

-

3

2

≤-

1

4

-2b，∴b≤

5

8

-

2

2

．
∴b≤

5

8

-

2

2

或1≤b≤2．

点评：本小题主要考查函数、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化思想．