Question

已知函数f(x)=

3

sin2x-2sin2x+2，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值以及单调增区间；
（Ⅱ）在给定的坐标系中，画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（I）由降次公式和辅导角公式（和差角公式），可将函数的解析式化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合正弦形函数的图象和性质，可求出函数f（x）的最大值以及单调增区间；
（Ⅱ）利用五点法求出函数y=f（x）在[0，π]上几个关键点的坐标，连线可得函数y=f（x）在[0，π]上的图象．

解答： 解：（I）∵f(x)=

3

sin2x-2sin2x+2=

3

sin2x+1-2sin2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1…（3分）
∴f（x）的最大值为3             …（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z…（6分）
∴函数的最大值为3，单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z…（7分）
（ II）列表如下     …（10分）

x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	2π+ π 6
f（x）	2	3	1	-1	1	2

函数y=f（x）在[0，π]上的图象如下图所示：
     …（12分）

点评：本题考查的知识点是五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦型函数的图象和性质，降次公式和辅导角公式（和差角公式），熟练掌握正弦形函数的图象和性质，是解答的关键．