Question

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分别为PD，PB的中点，平面MCN与PA交点为Q．
（Ⅰ）求PQ的长度；
（Ⅱ）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）求点A到平面MCN的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，AD，AB，AP为x，y，z正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PQ的长度．（Ⅱ）分别求出平面MCN的法向量和平面ABCD的法向量．由此利用向量法能求出截面MCN与底面ABCD所成二面角的正弦值．
（Ⅲ）由

AN

=(0，1，2)，平面MCN的法向量

n1

=（

2

，1，1），利用向量法能求出点A到平面MCN的距离．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意以A为坐标原点，AD，AB，AP为x，y，z正半轴，
建立空间直角坐标系，
则有：A（0，0，0）、D(

2

，0，0)、B（0，2，0）、
C(

2

，1，0)、P（0，0，4）、M(

2

2

，0，2)、N（0，1，2）．
设Q（0，0，a），由于Q∈平面MCN，
∴存在实数λ，μ，使得

CQ

=λ

CM

+μ

CN

，
即(-

2

，-1，a)=λ(-

2

2

，-1，2)+μ(-

2

，0，2)．
由

- 2 =- 2 2 λ- 2 μ -1=-λ

，得：

λ=1 μ= 1 2

．
于是a=2λ+2μ=3，|

PQ

|=1．
∴PQ的长度是1．…（5分）
（Ⅱ）设平面MCN的法向量

n1

=(x，y，1)，
由

n1 • CM =(x，y，1)•(- 2 2 ，-1，2)=- 2 2 x-y+2=0 n1 • CN =(x，y，1)•(- 2 ，0，2)=- 2 x+2=0

，
取x=

2

，得

n1

=(

2

，1，1)．
由题意

n2

=(0，0，1)为平面ABCD的法向量．
于是，cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

．
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的正弦值为

3

2

．…（10分）
（Ⅲ）设点A到平面MCN的距离为d，
∵

AN

=(0，1，2)，平面MCN的法向量

n1

=（

2

，1，1），
∴d=

| AN • n1 |

| n1 |

=

3

2

．
∴点A到平面MCN的距离为

3

2

．…（14分）

点评：本题考查线段长的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．