Question

Z=

(x-y)2+( 2 x + y 2 )2

（x≠0）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：令a=

1

2

、b=1代入柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，再用基本不等式可得答案．

解答： 解：令a=

1

2

、b=1、x取x-y、y取

2

x

+

y

2

代入柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，
（

1

4

+1）（（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²）≥[

1

2

(x-y)+(

2

x

+

y

2

)]²=（

2

x

+

x

2

）²，
∵当x＞0时，由基本不等式知

2

x

+

x

2

≥2，故x＜0时，

2

x

+

x

2

≤-2，
∴（

2

x

+

x

2

）²≥4
∴（

1

4

+1）[（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²]≥[

1

2

(x-y)+(

2

x

+

y

2

)]²=（

2

x

+

x

2

）²≥4，
∴[（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²]≥

16

5

，
∴Z=

(x-y)2+( 2 x + y 2 )2

≥

16 5

=

4 5

5

，Z的最小值为

4 5

5

，
故答案为：

4 5

5

点评：本题主要考查柯西不等式的应用，柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²中a、b、x、y各取何值是解题的关键．