Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

是定义在（-1，1）上的函数，解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据函数的奇偶性和函数的单调性质，转化为不等式组，解得即可

解答： 解：∵f（x）=

x

1+x2

，x∈（-1，1），
∴f（-x）=f（x），即函数为奇函数，
∴f′（x）=

3x2+1

(1+x2)2

＞0，恒成立，
∴函数f（x）在（-1，1）上为增函数，
∵f（x-1）+f（x）＜0．
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
∴

-1＜x-1＜1 -1＜-x＜1 x-1＜-x

解得0＜x＜

1

2

，
故不等式的解集为（0，

1

2

）

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，以及不等式组的解法，属于中档题