题目内容
已知向量
=（sin（x+
），3cos（x+
））与
=（1，1）且满足
∥
，其中x∈（0，
）．
（1）求sinx的值；
（2）若θ∈（0，
），cos（x+θ）=
，求cosθ的值．
| a |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
（1）求sinx的值；
（2）若θ∈（0，
| π |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的余弦函数
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）直接利用向量平行的坐标表示列式求得tanx，再由同角三角函数的基本关系式求得sinx的值；
（2）由角的范围结合已知求得sin（x+θ）的值，再由拆角的方法结合两角差的余弦求得cosθ的值．
（2）由角的范围结合已知求得sin（x+θ）的值，再由拆角的方法结合两角差的余弦求得cosθ的值．
解答：
解：（1）∵
=（sin（x+
），3cos（x+
）），
=（1，1），
由
∥
，得sin（x+
）-3cos（x+
）=0，
即sinx•cos
+cosx•sin
-3cosx•cos
+sinx•sin
=0．
∴tanx=
．
∵x∈（0，
），
∴cotx=2，则cscx=
=
=
，
∴sinx=
=
；
（2）由x∈（0，
），θ∈（0，
），得x+θ∈（0，π），
由cos（x+θ）=
，得sin（x+θ）=
=
=
．
由sinx=
，x∈（0，
），得cosx=
．
∴cosθ=cos[（x+θ）-x]=cos（x+θ）cosx+sin（x+θ）sinx=
×
+
×
=
．
| a |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| b |
由
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即sinx•cos
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴tanx=
| 1 |
| 2 |
∵x∈（0，
| π |
| 2 |
∴cotx=2，则cscx=
| 1+cot2x |
| 1+22 |
| 5 |
∴sinx=
| 1 |
| cscx |
| ||
| 5 |
（2）由x∈（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
由cos（x+θ）=
| 3 |
| 5 |
| 1-cos2(x+θ) |
1-(
|
| 4 |
| 5 |
由sinx=
| ||
| 5 |
| π |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
∴cosθ=cos[（x+θ）-x]=cos（x+θ）cosx+sin（x+θ）sinx=
| 3 |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查了平面向量的坐标运算，考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了三角函数的求值，是中档题．
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