Question

已知函数f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数的增区间，并求出当x∈[-

π

4

，

π

2

]时，函数f（x）的值域；
（3）函数的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得它的最小正周期和最大值．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到所求的增区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答： 解：（1）f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），由周期公式可得：T=

2π

2

=π．
∵sin（2x-

π

4

）≤1，
∴f（x）_max=1+

2

．
（2）∵令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，（k∈Z）
∴函数的增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈Z）
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]
∴2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

3π

4

]
∴sin(2x-

π

4

)min=-1，sin(2x-

π

4

)max=1，从而可解得函数f（x）的值域为[1-

2

，1+

2

]；
（3）将y=sinx的图象先向右平移

π

4

个单位长度，再把横坐标缩短为原来的

1

2

 （纵坐标不变），然后把纵坐标伸长为原来的

2

倍（横坐标不变），
再向上平移1个单位长度，可得f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

）的图象．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、最值、单调增区间以及它的图象变换规律，属于中档题．