Question

2．（1）求函数y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰的定义域．
（2）求函数y=2x-$\sqrt{x-1}$的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式有意义，列不等式组求解．
（2）利用换元法求解函数的值域．

解答 解：（1）函数y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰
其定义域需满足：$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{x≠0}\\{x-3≠0}\end{array}\right.$．
解得：x≥-2且x≠0，x≠3．
∴函数y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰的定义域为{x|x≥-2且x≠0，x≠3}．
（2）函数y=2x-$\sqrt{x-1}$，
令t=$\sqrt{x-1}$，（t≥0），那么x=t²+1．
则函数y=2x-$\sqrt{x-1}$转化为f（t）=2（t²+1）-t．
整理得：f（t）=2t²-t+2．（t≥0）
根据二次函数的性质可知：
开口向上，对称轴t=$\frac{1}{4}$，
当t=$\frac{1}{4}$时，函数f（t）取得最小值为$\frac{15}{8}$．
∴函数y=2x-$\sqrt{x-1}$的值域为[$\frac{15}{8}$，+∞）．

点评 本题考查了函数定义域求法就是列出函数解析式有意义的不等式组；考查了函数的值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．