Question

8．若双曲线$C：\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$的离心率为 2，则直线mx+ny-1=0的倾斜角为（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的离心率公式分析可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{{m}^{2}}$=1+$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=4，变形可得|$\frac{n}{m}$|=$\sqrt{3}$；对直线mx+ny-1=0分析可得其斜率k=-$\frac{m}{n}$，分析可得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由直线的斜率与倾斜角的关系即可得答案．

解答 解：根据题意，若双曲线$C：\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$的离心率为 2，
则有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{{m}^{2}}$=1+$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=4，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=3，即|$\frac{n}{m}$|=$\sqrt{3}$，
直线mx+ny-1=0的斜率k=-$\frac{m}{n}$，
又由|$\frac{n}{m}$|=$\sqrt{3}$，则k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直线mx+ny-1=0的倾斜角为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$；
故选：C．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意m与n的值可以为负值．