Question

7．已知抛物线G：y²=2px（p＞0），过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）当直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$时，|AB|=16．求抛物线G的方程；
（Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G，是否存在x轴上一定点N，使得|AB|-2|MN|为定值，若存在求出点N的坐标及定值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的方程为$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$，联立 $\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$，利用韦达定理以及弦长公式求解抛物线G的方程．
（2）假设在x轴上存在点N（a，0）使得|AB|-2|MN|为定值．由（1）知|AB|=8（t²+1）求出M的坐标，求出|MN|的表达式，然后转化求解在x轴上存在点N（3，0）使得|AB|-2|MN|为定值6．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知$F（\frac{p}{2}，0）$
设直线l的方程为$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$…..（1分）
由 $\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$得：y²-2pty-p²=0△=4p²t²+4p²＞0，
${y_1}+{y_2}=2pt，{y_1}{y_2}=-{p^2}$…（2分）
$|AB|=\sqrt{{{（\frac{y_1^2}{2p}-\frac{y_2^2}{2p}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=2p（{t^2}+1）$…．（4分）
当直线l倾斜角为$\frac{π}{4}$时，t=1，|AB|=4p=16，得p=4，
所以抛物线G的方程为y²=8x．…．（6分）
（2）假设在x轴上存在点N（a，0）使得|AB|-2|MN|为定值．
由（1）知|AB|=8（t²+1）…（7分）
${x_M}=\frac{t}{2}（{y_1}+{y_2}）+2=4{t^2}+2$，y_M=4t，
即M（4t²+2，4t）…．（8分）
若满足题意$2|MN|=2\sqrt{16{t^4}+（32-8a）{t^2}+{{（2-a）}^2}}=2（4{t^2}+k）$…（10分），
即$\left\{{\begin{array}{l}{4{t^2}+k≥0}\\{32-8a=2k}\\{{{（2-a）}^2}={k^2}}\end{array}}\right.$解得a=3，k=1，
此时|AB|-2|MN|=6
综上在x轴上存在点N（3，0）使得|AB|-2|MN|为定值6…．（12分）
注：其它做法酌情给分

点评 本题考查抛物线的简单性质以及这些与抛物线的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，转化思想的应用．