Question

7．已知函数f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）求使f（x）=0的x取值．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义可得$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）根据函数的奇偶性的定义证明判断即可；
（3）代值计算即可．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为（-1，1）
（2）由函数知x∈（-1，1）
且$f（-x）={log_2}\frac{1-x}{1+x}$=${log_2}{（\frac{1+x}{1-x}）^{-1}}$=${log_2}（\frac{1+x}{1-x}）$=-f（x）
∴f（x）在其定义域上是奇函数．
（3）f（x）=0即${log_2}\frac{1+x}{1-x}={log_2}1$，
∴$\frac{1+x}{1-x}=1$得x=0
经检验x=0符合题意，
∴x=0．

点评 本题考查了对数的运算性质和对数函数的性质，属于基础题．