Question

2．已知正数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{b}$=1，若不等式a+b≥-x²+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （-∞，3]
• C． （-∞，6]
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为m≥-x²+4x+2对任意实数x恒成立，再利用配方法求出-x²+4x+2的最大值得答案．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{9}{b}$=1，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}$）=10+$\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}$$≥10+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{9a}{b}}=16$．
当且仅当3a=b，即a=4，b=12时，（a+b）_min=16．
若不等式a+b≥-x²+4x+18-m对任意实数x恒成立，
则-x²+4x+18-m≤16，即m≥-x²+4x+2对任意实数x恒成立，
∵-x²+4x+2=-（x-2）²+6≤6，
∴m≥6．
∴实数m的取值范围是[6，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，训练了分离变量法求字母的取值问题，是中档题．