Question

17．若函数f（x）=a^x在区间[0，2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用指数函数的单调函数，a＞1时，增函数，x=0时，函数取得最小值，x=2时，函数取得最大值．
1＞a＞0时，减函数，x=0时，函数取得最大值，x=2时，函数取得最小值．

解答 解：函数f（x）=a^x，
当a＞1时，增函数，
x=0时，函数f（x）取得最小值，即f（0）=1，
x=2时，函数f（x）取得最大值，即f（2）=a²
由题意：最大值是最小值的2倍，
∴a²=2，
解得：a=$\sqrt{2}$
当1＞a＞0时，减函数，
x=0时，函数f（x）取得最大值，即f（0）=1
x=2时，函数f（x）取得最小值．即f（2）=a²，
由题意：最大值是最小值的2倍，
∴2a²=1，
解得：a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选D

点评 本题考查了指数函数的图象及性质的运用．当底数a没有说明范围的时候，考分情况讨论．