Question

已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx），其中常数ω∈（

1

2

，1），设函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）的图象关于直线x=π对称．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；
（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为奇函数，求φ的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，可得f（x）═2sin（2ωx-

π

6

），再根据正弦函数的周期性、单调性求得函数f（x）的最小正周期与单调增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得函数g（x）=2sin（

5

3

x+

5

3

φ-

π

6

），再根据g（x）为奇函数，可得

5

3

φ-

π

6

=2kπ，k∈z，由此求得φ的最小正值．

解答： 解：（1）由题意可得函数f（x）=

a

•

b

=sin²ωx-cos²ωx+

3

sin2ωx=-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
再根据的图象关于直线x=π对称，可得 2ωπ-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

k

2

+

1

3

．
再根据常数ω∈（

1

2

，1），可得ω=

5

6

．
故f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

），故函数的最小正周期为

2π

5 3

=

6π

5

．
令2kπ-

π

2

≤

5

3

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得

6

5

kπ-

π

5

≤x≤

6

5

kπ+

2π

5

，k∈z，故函数的增区间为[

6

5

kπ-

π

5

，

6

5

kπ+

2π

5

]，k∈z．
（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到函数g（x）=2sin[

5

3

（x+φ）-

π

6

]=2sin（

5

3

x+

5

3

φ-

π

6

） 的图象，
再根据g（x）为奇函数，∴

5

3

φ-

π

6

=2kπ，k∈z，即φ=

6

5

kπ+

π

10

，故φ的最小正值为

π

10

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性和奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．