Question

分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）离心率为

3

，焦点坐标为(-5

3

，0)和(5

3

，0)的双曲线
（2）离心率e=

1

2

，准线方程为y=±4

3

的椭圆
（3）焦点在y轴的正半轴上，焦点到准线的距离为4的抛物线．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,抛物线的标准方程,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由已知得：c=5

3

，

c

a

=

3

，由此能求出双曲线的方程．
（2）由已知可设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得：

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4

3

，由此能求出椭圆的方程．
（3）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上，可设方程为x²=2py，由已知得p=4，由此能求出抛物线的方程．

解答： 解：（1）设双曲线标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
由已知得：c=5

3

，

c

a

=

3

，所以a=5，故b=

c2-a2

=5

2

…..（3分）
所以双曲线的方程为：

x2

25

-

y2

50

=1…．（4分）
（2）由已知可设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
由已知得：

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4

3

，解得a=2

3

，c=

3

….6分
所以b=

a2-c2

=3，所以椭圆的方程为：

y2

12

+

x2

9

=1…（8分）
（3）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上，可设方程为x²=2py
由已知得p=4，所以抛物线的方程为x²=8y…．（12分）

点评：本题考查双曲线方程、椭圆方程、抛物线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥曲线的性质的合理运用．