Question

9．已知曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．
（1）若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；
（2）若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程转化为ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入，能求出曲线的直角坐标方程为（x-1）²+（y+1）²=4，圆心C（1，-1），由直线l被曲线C截得的弦长最小，知直线l与OC垂直，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）由M是曲线C上的动点，设$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=-1+2sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），由此能出x+y的最大值．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，
∴ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入，得曲线的直角坐标方程为（x-1）²+（y+1）²=4，
圆心C（1，-1），若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，
∴k_l•k_OC=-1，∵k_OC=-1，∴k_l=1，
∴直线l的直角坐标方程为y=x．
（2）∵M是曲线C上的动点，
∴设$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=-1+2sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），
则x+y=2sinα+2cosα=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$），
当sin（$α+\frac{π}{4}$）=1时，x+y取得最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查代数式的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．