Question

14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=4sin（θ+\frac{π}{3}）$，射线OM的极坐标方程为θ=α₀（ρ≥0）．
（1）写出曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若射线OM平分曲线C₂，且与曲线C₁交于点A，曲线C₁上的点B满足$∠AOB=\frac{π}{2}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C₁的极坐标方程，曲线C₂的极坐标方程转化为ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}ρcosθ$，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）曲线C₂是圆心为$（\sqrt{3}，\;\;\;1）$，半径为2的圆，射线OM的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$，代入${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，得$ρ_A^2=2$．由$∠AOB=\frac{π}{2}$，得$ρ_B^2=\frac{6}{5}$，由此能求出|AB|．

解答 【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）∵曲线C₁的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴曲线C₁的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，
∵曲线C₂的极坐标方程为$ρ=4sin（θ+\frac{π}{3}）$，
即$ρ=4sinθcos\frac{π}{3}+4cosθsin\frac{π}{3}$，
即ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}ρcosθ$，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=2y+2\sqrt{3}x$，
∴曲线C₂的直角坐标方程为${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$．
（2）曲线C₂是圆心为$（\sqrt{3}，\;\;\;1）$，半径为2的圆，
∴射线OM的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$，
代入${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，可得$ρ_A^2=2$．
又$∠AOB=\frac{π}{2}$，∴$ρ_B^2=\frac{6}{5}$，
∴$|AB|=\sqrt{|OA{|^2}+|OB{|^2}}=\sqrt{ρ_A^2+ρ_B^2}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．