Question

4．如图点G是三角形ABO的重心，PQ是过G的分别交OA，OB于P，Q的一条线段，且OP=mOA，OQ=nOB，（m，n∈R）．求证$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OQ}$表示出$\overrightarrow{OG}$，利用共线原理得出m，n的关系．

解答 证明：∵G是△OAB的重心，∴D是A的中点，
∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∵OP=mOA，OQ=nOB，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{m}\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{n}\overrightarrow{OQ}$，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3m}$$\overrightarrow{OP}$+$\frac{1}{3n}\overrightarrow{OQ}$，
∵P，Q，G三点共线，
∴$\frac{1}{3m}+\frac{1}{3n}$=1，即$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$．

点评 本题考查了平面向量在几何证明中的应用，属于中档题．