Question

18．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x．
（1）当a=2时，f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；
（2）方程mf（x）=（1-$\frac{am}{2}$）x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出k的范围即可；
（2）lnx+x=0时，不合题意，当lnx+x≠0时，m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，此时x＞x₀，记h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$，根据函数的单调性求出m的值即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=lnx-x²+x，
f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-{2x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）_max=f（1）=0，
若f（x）≤k恒成立，
则k≥0；
（2）方程mf（x）=（1-$\frac{am}{2}$）x²有唯一实数解，
即m（lnx+x）=x²有唯一实数解，
当lnx+x=0时，显然不成立，设lnx+x=0的根为x₀∈（$\frac{1}{e}$，1）
当lnx+x≠0时，m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，此时x＞x₀
记h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$，
h′（x）=$\frac{x（x-1）+2xlnx}{{（lnx+x）}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，x（x-1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，x（x-1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x₀，1）上递减，（1，+∞）上递增．
∴h（x）_min=h（1）=1，
当x∈（x₀，1）时，h（x）∈（1，+∞），
当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（1，+∞），
要使m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，应有m=h（1）=1，
∴m=1．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．