Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，过点（1，0）作倾斜角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：过点（1，0）作倾斜角为45°的直线l方程为y=x-1，联立

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²-8x-8=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式能求出△AOB的面积．

解答： 解：过点（1，0）作倾斜角为45°的直线l方程为y=x-1，
联立

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²-8x-8=0，
△=64+4×7×8＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

，
|AB|=

(1+1)[( 8 7 )2+4× 8 7 ]

=

24

7

，
原点O（0，0）到直线y=x-1的距离d=

|-1|

2

=

2

2

，
∴△AOB的面积S=

1

2

×d×|AB|=

1

2

×

2

2

×

24

7

=

6 2

7

．
故答案为：

6 2

7

．

点评：本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．