Question

如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．求：
（1）四棱锥S-ABCD的体积；
（2）面SCD与面SBA所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先求出直角梯形ABCD的面积再计算四棱锥S-ABCD的体积．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面SCD与面SBA所成二面角的余弦值．

解答： 解：（1）∵ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，
SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，
∴S梯形ABCD=

1

2

(AD+BC)×AB
=

1

2

(

1

2

+1)×1=

3

4

，
∴四棱锥S-ABCD的体积：
V=

1

3

×AS×S梯形ABCD
=

1

3

×1×

3

4

=

1

4

．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，
建立空间直角坐标系，
S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，

1

2

，0），

SC

=（1，1，-1），

SD

=（0，

1

2

，-1），
设平面SCD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • SC =x+y-z=0 n • SD = 1 2 y-z=0

，取z=1，得

n

=（-1，2，1），
又平面SAB的法向量

m

=(0，1，0)，
设面SCD与面SBA所成二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

2

6

|=

6

3

，
∴面SCD与面SBA所成二面角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查四棱锥的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．