Question

已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为

π

3

，则此时三棱锥外接球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：取BC的中点E，连AE，DE，确定∠ADE是AD与平面BCD所成的角，求出AE，即可求出三棱锥外接球的表面积．

解答： 解：取BC的中点E，连AE，DE，设AD=x，则BE=EC=x，
∵AB=AC=BD=CD=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴BC⊥平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCD，
∴∠ADE是AD与平面BCD所成的角，∠ADE=60°，
∴AE=DE=

4-x2

=x，解得x=

2

，
∴E是三棱锥A-BCD的外接球的球心，
∴所求表面积=4πx²=8π．
故答案为：8π．

点评：本题考查三棱锥外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定E是三棱锥A-BCD的外接球的球心是关键．