Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的指数函数．
（Ⅰ）若f(2)=

1

4

，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x₀）=8，求f(

1

2

x0)的值；
（Ⅲ）若f（x）在区间[0，+∞）上的值域是（0，1]，且f（2x²-3x+1）≤f（x²+2x-5），求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先设出函数的表达式，由f（2）=

1

4

，代入求出a的值即可；
（Ⅱ）根据f(

1

2

x0)=a

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2

x0=(ax0)

1

2

=8

1

2

=

8

=2

2

，从而得到答案；
（Ⅲ）结合函数的单调性，得到不等式2x²-3x+1≥x²+2x-5，解出即可．

解答： 解：设f（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
（Ⅰ）因为f(2)=

1

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，
所以a2=

1

4

，所以a=

1

2

所以函数f（x）的解析式的解析式为f(x)=(

1

2

)x；
（Ⅱ）因为f（x₀）=8，所以ax0=8，
所以f(

1

2

x0)=a

1

2

x0=(ax0)

1

2

=8

1

2

=

8

=2

2

；
（Ⅲ）因为f（x）是指数函数，且在区间[0，+∞）上的值域是（0，1]，
所以0＜a＜1，
所以f（x）在R上是单调递减函数，
又因为f（2x²-3x+1）≤f（x²+2x-5），
所以2x²-3x+1≥x²+2x-5
所以x²-5x+6≥0
所以x≤2，或x≥3
故实数x的取值范围是{x|x≤2，或x≥3}．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了考查了求指数函数的表达式，是一道中档题．