Question

求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）渐近线方程为2x±3y=0，顶点在y轴上，且焦距为2

13

；
（2）与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦点，且过点（3

2

，2）．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出双曲线方程，利用渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2

13

，列出方程组即可求解双曲线方程；
（2）利用与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦点，设出双曲线方程，利用过点（3

2

，2）求解即可．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）．∵c²=a²+b²，∴13=a²+b²，
由渐近线斜率得

a

b

=

2

3

，故

a b = 2 3 a2+b2=13

，解得

a2=4 b2=9

，
∴所求双曲线方程为

y2

4

-

x2

9

=1．
（2）设双曲线方程为

x2

16-k

-

y2

4+k

=1，将点（3

2

，2）代入得k=4，
所以双曲线方程为

x2

12

-

y2

8

=1．（通法相应给分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的基本性质的应用．