Question

1．（ I）求${（{{x^2}-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^{10}}$的展开式中的常数项；
（Ⅱ）设${（{2x-\sqrt{3}}）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$，求（a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀）．

Answer 1

分析 （ I）利用${（{{x^2}-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^{10}}$的展开式中的通项公式，通过x的幂指数为0，确定常数项求解即可；
（Ⅱ）利用赋值法，转化求解表达式的值即可．

解答 （本题满分12分）
解：（ I）通项${T_{r+1}}=C_{10}^r{（{x^2}）^{10-r}}{（{-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^r}={（{-\frac{1}{2}}）^r}C_{10}^r{x^{20-\frac{5}{2}r}}$----------------------（3分）
令20-$\frac{5r}{2}=0$，解得r=8，常数项${T_9}={（{-\frac{1}{2}}）^8}C_{10}^8=\frac{1}{256}×\frac{10×9}{2×1}=\frac{45}{256}$------------（6分）
（ II）$令x=-1，{a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_{10}}={（{-2-\sqrt{3}}）^{10}}={（{2+\sqrt{3}}）^{10}}$------------（8分）
$令x=1，{a_0}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{10}}={（{2-\sqrt{3}}）^{10}}$----------------------------------（10分）
$（{{a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_{10}}}）（{{a_0}-{a_1}-{a_3}+…+{a_{10}}}）={（{2-\sqrt{3}}）^{10}}{（{2+\sqrt{3}}）^{10}}={（{4-3}）^{10}}=1$-----------------------（12分）

点评 本题考查二项式定理的应用，考查计算能力．