Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=（-1）ⁿ（2n-1）．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入计算，可求S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）猜想S_n的表达式，利用数学归纳法的证明步骤进行证明．

解答 解：（1）S₁=-1，S₂=-1+3=2，S₃=-1+3-5=-3，S₄=-1+3-5+7=4，
（Ⅱ）猜想${S_n}={（-1）^n}n$，证明如下：
（1）当n=1时，由（1）得结论成立； 
（2）假设当n=k时，结论成立，
即-1+3-5+7+…+（-1）^k（2k-1）=（-1）^kk
那么，当n=k+1时，
左边=-1+3-5+7+…+（-1）^k（2k-1）+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^kk+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^k+1（-k+2k+1）=（-1）^k+1（k+1）．
故n=k+1时，结论也成立．
由（1）（2）知，-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查猜想与证明，正确运用数学归纳法的证明步骤是关键．