Question

7．如图，过点E（1，0）的直线与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为（0，-2）时，求直线CD的方程；
（2）求四边形ABCD面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）当B（0，-2）时，直线AB的斜率为2，由CD与AB垂直，直线CD的斜率为-$\frac{1}{2}$，由此能求出直线CD的方程．
（2）当直线AB与x轴垂直时，AB=2$\sqrt{3}$，CD=4，四边形ACBD的面积，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为kx-y-k=0，则直线CD方程为x+ky-2=0，求出点O到直线AB的距离，从而得到弦长AB和CD，由此利用配方法能求出四边形ACBD面积的最大值．

解答 解：（1）当B（0，-2）时，直线AB的斜率为$\frac{0-（-2）}{1-0}=2$，
∵CD与AB垂直，∴直线CD的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴直线CD的方程为y=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-2=0．
（2）当直线AB与x轴垂直时，AB=2$\sqrt{3}$，CD=4，
∴四边形ACBD的面积S=$\frac{1}{2}AB•CD=4\sqrt{3}$，
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），
即kx-y-k=0，
则直线CD方程为y=-$\frac{1}{k}（x-2）$，即x+ky-2=0，
点O到直线AB的距离为$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴AB=2$\sqrt{4-（\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}$，
CD=2$\sqrt{4-（\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}}$=4$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，
则四边形ACBD面积S=$\frac{1}{2}AB•CD$=$\frac{1}{2}•2\sqrt{\frac{3{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}•4\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{\frac{（3{k}^{2}+4）{k}^{2}}{（{k}^{2}+1）^{2}}}$，
令k²+1=t＞1（当k=0时，四边形ACBD不存在），
∴$S=4\sqrt{\frac{（3t+1）（t-1）}{{t}^{2}}}$=4$\sqrt{4-（\frac{1}{t}+1）^{2}}$∈（0，4$\sqrt{3}$），
∴四边形ABCD面积S的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．