Question

18．函数f（x）=x²+b•x+c•3^x（b，c∈R），若{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}≠∅，则b+c的取值范围为[0，4）．

Answer 1

分析 求出c=0，求出f（x）的解析式，通过讨论b，求出满足条件的b的范围，即b+c的范围．

解答 解：设x₀∈{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}，
则$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{0}）=0}\\{f（f{（x}_{0}））=0}\end{array}\right.$，故f（0）=0，故c=0，
∴f（x）=x²+bx，
①b=0时，{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}，
②b≠0时，{x|f（x）=0}={0，-b}，
则f（f（x））=x（x+b）（x²+bx+b）=0仅有0，-b两个根，
∴b²-4b＜0，解得：0＜b＜4，
综上，b∈[0，4），b+c∈[0，4），
故答案为：[0，4）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．