Question

2．若对任意的实数x，总存在y∈[2，3]，使得不等式x²+xy+y²≥k（y-1）成立，则实数k的最大值为3．

Answer 1

分析 根据题意，利用判别式△≤0得到关于y的不等式，
再分离常数k，构造函数，利用基本不等式求出k的最大值．

解答 解：∵x²+xy+y²≥k（y-1）对任意的x恒成立，
化简得：x²+xy+y²-ky+k≥0对任意的x恒成立，
∴△=y²-4（y²-ky+k）≤0，
即3y²-4ky+4k≥0，y∈[2，3]，
∴4k（y-1）≤3y²，
∴4k≤$\frac{{3y}^{2}}{y-1}$；
设t=$\frac{{3y}^{2}}{y-1}$，其中y∈[2，3]；
则t=3•$\frac{{（y-1）}^{2}+2（y-1）+1}{y-1}$
=3[（y-1）+$\frac{1}{y-1}$+2]≥3•（2$\sqrt{（y-1）•\frac{1}{y-1}}$+2）=12，
当且仅当y-1=1，即y=2时“=”成立，
∴4k≤12，解得k≤3，
即k的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，也考查了判别式的应用问题，是中档题．