Question

19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=$\frac{1}{2}$EA=1．则直线EB与平面ECF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 建立坐标系，求出平面CEF的法向量，计算$\overrightarrow{BE}$与法向量的夹角余弦值即可得出所求答案．

解答 解：建立空间坐标系如图所示：
则B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，0，2），F（0，2，1）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{EF}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{CF}$=（-2，0，1），
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{EF}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2y-z=0}\\{-2x+z=0}\end{array}\right.$，令z=2得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线EB与平面ECF所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．