Question

15．关于函数$f（x）=\frac{lnx}{x^2}$极值的判断，正确的是（　　）

• A． x=1时，y_极大值=0
• B． x=e时，y_极大值=$\frac{1}{e^2}$
• C． x=e时，y_极小值=$\frac{1}{e^2}$
• D． $x=\sqrt{e}$时，y_极大值=$\frac{1}{2e}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：f（x）使得定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x-2xlnx}{{x}^{4}}$=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{e}$）递增，在（$\sqrt{e}$，+∞）递减，
故x=$\sqrt{e}$时，f（x）的极大值是f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．