Question

7．已知命题p：函数f（x）=x²-2ax+3在区间[-1，2]上单调递增；
命题q：函数g（x）=lg（x²+ax+4）的定义域为R；
若命题“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p：a≤-1，命题q：-4＜a＜4，由命题“p∧q”为假，“p∨q”为真，得到p，q中一真一假，由此能求出实数a的取值范围．

解答 （12分）解：∵命题p：函数f（x）=x²-2ax+3在区间[-1，2]上单调递增，
f（x）=x²-2ax+3的对称轴为x=a，
∴命题p：a≤-1…（2分）
∵命题q：函数g（x）=lg（x²+ax+4）的定义域为R，
∴命题q：△=a²-16＜0，即-4＜a＜4，…（4分）
∵命题“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中一真一假，…（6分）
$p真q假：\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\ a≤-4或a≥4\end{array}\right.?a≤-4$…（8分）
$p假q真：\left\{\begin{array}{l}a＞-1\\-4＜a＜4\end{array}\right.?-1＜a＜4$…（10分）
综上：a≤-4或-1＜a＜4．…（12分）

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数的单调性、对数函数的定义域、命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．