Question

4．已知a∈R，函数f（x）满足f（2^x）=x²-2ax+a²-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）在$[{2^{a-1}}，{2^{{a^2}-2a+2}}]$上的值域为[-1，0]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）使用换元法令2^x=t＞0，则x=log₂t代入即可求出；
（Ⅱ）由题意，利用换元法将f（x）在$[{2^{a-1}}，{2^{{a^2}-2a+2}}]$上的值域为[-1，0]等价于g（x）=x²-2ax+a²-1在区间[a-1，a²-2a+2]上的值域为[-1，0]．从而求解可得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）令2^x=t＞0，则x=log₂t，则$f（t）={（{log_2}t）^2}-2a{log_2}t+{a^2}-1$，
即$f（x）={（{log_2}x）^2}-2a{log_2}x+{a^2}-1$．
定义域为：（0，+∞）；
（Ⅱ）令g（x）=f（2^x），则f（x）=$g（lo{g}_{2}x）=（lo{g}_{2}x）^{2}-2alo{g}_{2}x+{a}^{2}-1$，
∴f（x）在$[{2^{a-1}}，{2^{{a^2}-2a+2}}]$上的值域为[-1，0]等价于g（x）=x²-2ax+a²-1
在区间[a-1，a²-2a+2]上的值域为[-1，0]．
∵g（a）=-1∈[-1，0]，∴a∈[a-1，a²-2a+2]，且g（x）在区间[a-1，a²-2a+2]上的最大值应在区间端点处取得．
又g（a-1）=0恰为g（x）在该区间上的最大值，故a必在区间右半部分，即$\frac{（a-1）+（{a}^{2}-2a+2）}{2}≤a≤{a}^{2}-2a+2$，
解得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}≤a≤1$或$2≤a≤\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了函数的定义域及其值域的求法，解决本题的关键是利用换元法进行求解，是中档题．