Question

已知过点（0，4），斜率为-1的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点．O为坐标原点，|AB|=4

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，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OA⊥OB．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件得直线l的方程为y=-x+4，联立方程组

y=-x+4 y2=2px

，得x²-2（p+4）x+16=0，由此利用弦长公式能求出抛物线的解析式．
（2）由（1）分别求出x₁x₂=16，y₁y₂=-16，由此能够证明OA⊥OB．

解答： 解：（1）过点（0，4），斜率为-1的直线l的方程为y=-x+4，
联立方程组

y=-x+4 y2=2px

，
消去y得，x²-2（p+4）x+16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
∴|AB|=

(1+1)[4(p+4)2-4×16]

=4

10

，
解得p=2．
∴抛物线的解析式为y²=4x．
（2）证明：由（1）知，x₁+x₂=2（p+4）=12，x₁x₂=16，
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB．

点评：本题考查抛物线解析式的求法，考查两线段垂直的证明，是中档题，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用．