Question

若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy=30．求xy，x+y的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由条件解出x，注意由x，y＞0，可得0＜y＜15．令t=1+y，（1＜t＜16），则y=t-1，分别代入xy，x+y，化简整理，运用基本不等式求出最值，再讨论两端点的函数值大小，即可得到范围．

解答： 解：由于x，y∈（0，+∞），x+2y+xy=30，
则x=

30-2y

1+y

，由x，y＞0，可得0＜y＜15．
则xy=

y(30-2y)

1+y

，x+y=

30+y2-y

1+y

，
令t=1+y，（1＜t＜16），则y=t-1，
则有xy=

2(t-1)(16-t)

t

=2[17-（t+

16

t

）]，
x+y=

30+(t-1)2-(t-1)

t

=t+

32

t

-3，
由于1＜t＜16，则8≤t+

16

t

＜17，
则有xy的取值范围是（0，18]；
对于t+

32

t

≥8

2

，t=4

2

∈（1，16），则取得最小值8

2

，t→1，t+

32

t

→33，
则有x+y的取值范围是[8

2

-3，30）．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，考查化简和变形能力，考查运算能力，属于中档题．