Question

在直角坐标xoy中，已知A（1，1），B（3，3），试在x轴的正半轴上求一点P，使∠APB最大．

Answer 1

考点：直线的倾斜角

专题：直线与圆

分析：设P（x，0），其中x＞0，（1）当x=1时可得∠APB=

π

2

-arctan

3

2

＜arctan（

6

2

+1）；（2）当x=3时可得∠APB=

π

2

-arctan

1

2

＜arctan（

6

2

+1）；（3）当x≠1且x≠3时可得tan∠APB=

2

x+ 6 x -4

，由基本不等式可得．

解答： 解：设P（x，0），其中x＞0，
（1）当x=1时，PA垂直于x轴，k_BP=

3

2

，
∴∠APB=

π

2

-arctan

3

2

＜arctan（

6

2

+1）；
（2）当x=3时，PB垂直于x轴，k_AP=-

1

2

，
∴∠APB=π-arctan

1

2

-

π

2

=

π

2

-arctan

1

2

＜arctan（

6

2

+1）；
（3）当x≠1且x≠3时，k_AP=

1

1-x

，k_BP=

3

3-x

，
tan∠APB=

1 1-x - 3 3-x

1+ 1 1-x • 3 3-x

=

2x

x2-4x+6

=

2

x+ 6 x -4

≤

2

2 x• 6 x -4

=

1

6 -2

=

6

2

+1，
∴当且仅当x=

6

x

即x=

6

时，∠APB取到最大值arctan（

6

2

+1）
综上可得当x=

6

时，∠APB取到最大值arctan（

6

2

+1）

点评：本题考查直线的倾斜角和斜率公式，涉及反三角函数和分类讨论以及基本不等式，属中档题．